“卡门-钱近似公式”
冯·卡门整整年长钱学森30岁，他们是两代人。在冯·卡门身边，钱学森经历了“三部曲”：
最初是学生，逐渐成为得意门生；
接着，钱学森成了冯·卡门的助手；
最后，钱学森成了冯·卡门在科学研究中的最密切的合作者，甚至创立了用两人的姓氏命名的“卡门-钱近似”公式。
冯·卡门当时是世界空气动力学的权威。钱学森在冯·卡门的指引下，闯进空气动力学这片正待开发的密林。
空气动力学是力学的一个分支，是航空工程的基础理论。航空要解决的首要问题是如何获得飞行器所需要的举力、减小飞行器的阻力和提高它的飞行速度，这正是空气动力学需要研究和解决的课题。
戴汝为院士是钱学森的学生，他记得钱学森曾经这样对他说：“我不是说大话，我在做空气动力学的时候，关于空气动力学方面的英文的、法文的、德文的、意大利文的文献我全都念过。为了要把它做好，我得这么念，而且还进行了分析。”[1]
钱学森进入空气动力学研究领域的时候，恰恰赶上世界航空工业大转折的时代：从老式的螺旋桨飞机向喷气式飞机发展，飞机正处于追赶甚至超过音速的时代。
[1]2010年5月17日下午，叶永烈在北京中国科学院自动化研究所采访戴汝为院士。
声音在空气中的传播速度，在一个标准大气压条件下大约为340米／秒，亦即1 224千米/时。这叫音速，也叫声速。音速，仿佛成了划分飞机飞行速度的里程碑。
早年的老式螺旋桨飞机，用*式发动机推动，飞行的速度远远低于音速。当时能够到达时速750千米，算是很不错的了。
要想提高飞机的速度，必须采用崭新的发动机。20世纪20年代末，英国空军教官弗兰克·惠特尔提出了喷气发动机的设想。但是在当时这一设想如同科学幻想，还很遥远。直到1935年，惠特尔得到银行家的资助，得以成立“动力喷气有限公司”，这才终于制成第一台涡轮喷气发动机。
与惠特尔同时，德国的冯·奥亨也在研制涡轮喷气发动机。1939年8月27日，冯·奥亨研制的世界上第一架喷气式飞机试飞成功，成为世界航空史上划时代的事件。
涡轮喷气发动机大大提高了飞机的飞行速度，使飞机接近声音的速度，称为“亚音速”飞机。后来，喷气式飞机的飞行速度甚至超过了声音的速度，称为“超音速”飞机。
往日，科学家们所研究的只是低速飞行动力学。如今，飞机在“亚音速”或“超音速”飞行，空气动力学规律与低速飞行全然不同。要想提高喷气式飞机的速度，必须解决两大科学难题：
一，当飞机的飞行速度提高到亚音速时，气体的可压缩性对飞行器的性能到底有什么影响，它们之间的定量关系是怎样的？
二，如果想再把飞机的飞行速度进一步提高到超音速时，应该采用什么样的最富有成效的理论指导和技术设计才能实现？
冯·卡门要求钱学森把这两大难题作为他的博士论文的研究课题，从而建立崭新的“亚音速”空气动力学和“超音速”空气动力学。
钱学森的论文《非线性弹性力学》仅手稿就有800多页。钱学森后来曾经对他的学生范良藻说及：“不流大汗，不受大累，仅凭一点小商小贩的小聪明，是做不出来的。”
在冯·卡门的指导下，钱学森花费三年的时间，终于成功地攻克这两大难题。
1939年，钱学森完成了《高速气体动力学问题的研究》等四篇博士论文，第一次显示了他在科学研究上的惊人才华。钱学森因此获得加州理工学院航空和数学的双博士学位。
钱学森后来的学生戴汝为是这样谈及钱学森的博士论文：“当飞机的速度越来越快，要看压缩性效应，而压缩性直接影响到飞行体表面的摩擦力。钱学森开始做这种工作的时候，他的老师推荐他用Miscs变换，然后根据不可压缩的解进行迭代。钱学森并没有按照老师的建议做迭代的运算，然后交卷完事，而是一开始就收集和阅读了大量参考文献，写了450页的笔记，改正了前人很多不足的地方，然后才整理他的论文。这就是他的第一篇博士论文。这么一种认真踏实的态度对人们影响很大，我想对大家都是有参考意义的。论文的第二篇，也是按这样子来做，做完之后的研究成果形成了‘卡门-钱近似公式’，这公式已经收录在流体力学的教科书里。所以，我常常和我的学生说不要妄自菲薄，好的博士论文可以解决很大的问题。你在写论文的时候，正是最年轻、思想最活跃的时候，你得吃苦，不能觉得自己肯定就行了，一定要花工夫，一定要勤奋。前辈的科学家已经给了我们很好的例子。”
钱学森博士论文中的重大成果是“热障”理论和“卡门-钱近似”公式。
所谓“热障”理论，是指“飞机在高速飞行时，其表面气流温度很高，会使金属外层强度降低，甚至熔化。因此在设计高速飞机时，必须对飞机表面采取有效的防热或冷却的措施，才能持续高速飞行”。
所谓“卡门-钱近似”公式，是“一种计算高速飞行着的飞机机翼表面压力分布情况的科学公式，后来被世界各国广泛应用于超声速飞机设计与制造”。
钱学森的博士论文，奠定了他在空气动力学上的地位。
冯·卡门这么说起钱学森：“钱学森跟我一起解决很多数学难题。他想象力极为丰富，不但数学能力强，而且善于观察自然现象的物理性质，在若干相当困难的题目上，都能帮我厘清观念。他的天资卓越，实在难能可贵，我们顺理成章成为亲密工作伙伴。“
冯。卡门还说“钱的这种天资是我不常遇到的。”
从此，钱学森成为冯·卡门的亲密合作者，他被加州理工学院古根海姆航空实验室聘为研究人员，继续为突破飞机在高速飞行下的“声障”和“热障”作出贡献。
纵观钱学森走过的道路，可以说是一条名校之路，可以说是受到最良好的教育。在这逐级递升的名校之中，钱学森得到诸多名师的指点，直至成为世界一流的科学家冯卡门的高徒。名校的教育、名师的指导是外因，钱学森本身天资聪慧又勤恳学习则是内因。钱学森从蒙养院到博士，走过了最良好的学习之路，打下最扎实的学术基础。此后的钱学森，正是在这样扎实的基础上起飞的。
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